算法：N 皇后问题

一、题目 §

按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ’.’ 分别代表了皇后和空位。

二、输入 §

n = 4

三、输出 §

4 皇后问题的所有解

四、示例 §

输入：
4

输出：
[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]

如下图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

五、题解 §

1. N 皇后问题求解经典算法是回溯算法
2. 本文也给出了基于位运算的求解方式，需要掌握位运算的常见操作（比如取最后一位 1，去掉最后一位 1 等）。重点理解递归过程中斜线 pie，na 的移位运算

5.1 Java 实现 §

• 位运算求解

package org.stone.study.algo.ex202412;

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.List;

/**
 * N皇后问题，位运算解法
 * Q 代表放皇后的位置，.代表空位
 * 回溯
 */
public class NQueueProblem {

    public static void main(String[] args) {
        int n = 8;
        // 记录每行放皇后的位置（列号）
        int[] queue = new int[n];
        Arrays.fill(queue, -1);
        List<List<String>> ans = new ArrayList<>();
        backtrack(0, n, 0, 0, 0, queue, ans);

        // 92
        //System.out.println("total:" + ans.size());
        for (List<String> board : ans) {
            for (String row : board) {
                System.out.println(row);
            }
            System.out.println();
        }
    }

    /**
     * 回溯
     * @param row 当前行
     * @param n 总行数
     * @param col 列的限制
     * @param pie 撇的限制
     * @param na 捺的限制
     * @param queue 记录每行放皇后的位置（列号）
     * @param ans 最终结果
     */
    public static void backtrack(int row, int n, int col, int pie, int na, int[] queue, List<List<String>> ans) {
        if (row == n) {
            List<String> board = generateBoard(queue, n);
            ans.add(board);
            return;
        }

       // 得到当前所有的空位
       int availPos = ((1 << n) - 1) & (~(col | pie | na));
        // 遍历空位
       while (availPos != 0) {
           // 取最低位的1
           int pos = availPos & (-availPos);
           // 将最低位位置1置为0，表示该位置已经放置了皇后
           availPos = availPos & (availPos - 1);
           // 放置皇后
           int column = Integer.bitCount(pos - 1);
           queue[row] = column;
           // pie往左移，下一行中位置变小，位运算往右移合理一些；na 相反
           backtrack(row + 1, n, col | pos, (pie | pos) >> 1, (na | pos) << 1, queue, ans);

           // 回溯，将皇后移除
           queue[row] = -1;
       }
    }

    private static List<String> generateBoard(int[] queue, int n) {
        List<String> board = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            char[] row = new char[n];
            Arrays.fill(row, '.');
            row[queue[i]] = 'Q';
            board.add(new String(row));
        }

        return board;
    }
}

• 回溯算法求解

class Solution {
 
    public List<List<String>> solveNQueens(int n) {
        List<List<String>> ans = new ArrayList<>();
        // 初始化棋盘，都是.
        List<char[]> oneSolution = new ArrayList<>();
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            char[] arr = new char[n];
            Arrays.fill(arr, '.');
            oneSolution.add(arr);
        }
        //回溯
        backtrack(0, n, oneSolution, ans);
 
        return ans;
    }
  
    // 回溯求解。oneSolution 是当前正在尝试的解法
    private void backtrack(int curRow, int n, List<char[]> oneSolution, List<List<String>> ans) {
        if(curRow == n) {
            List<String> l = new ArrayList<>();
            for(char[] arr : oneSolution) {
                l.add(new String(arr));
            }
            ans.add(l);
            return;
        }
 
        char[] arr = oneSolution.get(curRow);
        for(int curCol = 0; curCol < n; curCol++) {
            arr[curCol] = 'Q';
            if(valid(curRow, curCol, n, oneSolution)) {
                backtrack(curRow + 1, n, oneSolution, ans);
            }
            arr[curCol] = '.';
        }
    }
 
    // row，col 放皇后是否合法
    private boolean valid(int row, int col, int n, List<char[]> oneSolution) {
        // 列规则是否通过
        for(int i = 0; i < row; i++) {
            if(oneSolution.get(i)[col] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
 
        // 正斜线规则是否通过
        int j = col;
        for(int i = row - 1; i >= 0; i--) {
            ++j;
            if(j < n && oneSolution.get(i)[j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
 
        // 反斜线规则是否通过
        j = col;
        for(int i = row - 1; i >= 0; i--) {
            --j;
            if(j >= 0 && oneSolution.get(i)[j] == 'Q') {
                return false;
            }
        }
 
        return true;
    }
}

5.2 Python实现 §

# 打印一种解的棋盘
def generateBoard(queue, n):
    board = []
    for res in queue:
        row = '.' * n
        for i in range(n):
            if ((res >> i) & 1) == 1:
                row = row[:i] + 'Q' + row[i + 1:]
        board.append(row)
    return board

# 回溯算法求解
def backtrack(row, n, col, pie, na, queue, res):
    # 递归终止条件
    if row == n:
        # 一种解法
        res.append(generateBoard(queue, n))
        return
    
    # 得到当前所有的空位
    bits = (~(col | pie | na)) & ((1 << n) - 1)
    while bits:
        # 取最低位的1
        p = bits & -bits
        # 去掉最低位的1
        bits = bits & (bits - 1)
        # 把皇后放到空位上
        queue.append(p)
        # DFS 到下一行
        backtrack(row + 1, n, col | p, (pie | p) >> 1, (na | p) << 1, queue, res)
        # 清理当前层
        queue.pop()


if __name__ == '__main__':
    n = 8
    # 所有解法的列表
    res = []
    # 一种解法
    queue = []
    # 求解 N 皇后问题的解，解放到一个列表中，Q 代表皇后位置，. 代表空格
    backtrack(0, n, 0, 0, 0, queue, res)
    print(len(res))