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常用的位操作

Sep 26, 2024, 15 min read

常用的位运算技巧

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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：

LeetCode力扣难度
136. Single Number136. 只出现一次的数字🟢
191. Number of 1 Bits191. 位1的个数🟢
231. Power of Two231. 2 的幂🟢
268. Missing Number268. 丢失的数字🟢
-剑指 Offer 15. 二进制中1的个数🟢

-----------

位操作（Bit Manipulation）可以有很多技巧，有一个叫做 Bit Twiddling Hacks 的网站收集了几乎所有位操作的黑科技玩法，网址如下：

http://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html

但是这些技巧大部分都过于晦涩，我觉得可以作为字典查阅，没必要逐条深究。但我认为那些有趣的、有用的位运算技巧，是我们每个人需要掌握的。

所以本文由浅入深，先展示几个有趣（但没卵用）的位运算技巧，然后再汇总一些在算法题以及工程开发中常用的位运算技巧。

一、几个有趣的位操作

  1. 利用或操作 | 和空格将英文字符转换为小写
('a' | ' ') = 'a'
('A' | ' ') = 'a'
  1. 利用与操作 & 和下划线将英文字符转换为大写
('b' & '_') = 'B'
('B' & '_') = 'B'
  1. 利用异或操作 ^ 和空格进行英文字符大小写互换
('d' ^ ' ') = 'D'
('D' ^ ' ') = 'd'

以上操作能够产生奇特效果的原因在于 ASCII 编码。ASCII 字符其实就是数字，恰巧空格和下划线对应的数字通过位运算就能改变大小写。有兴趣的读者可以查 ASCII 码表自己算算，本文就不展开讲了。

  1. 不用临时变量交换两个数
int a = 1, b = 2;
a ^= b;
b ^= a;
a ^= b;
// 现在 a = 2, b = 1
  1. 加一
int n = 1;
n = -~n;
// 现在 n = 2
  1. 减一
int n = 2;
n = ~-n;
// 现在 n = 1
  1. 判断两个数是否异号
int x = -1, y = 2;
boolean f = ((x ^ y) < 0); // true
 
int x = 3, y = 2;
boolean f = ((x ^ y) < 0); // false

如果说前 6 个技巧的用处不大，这第 7 个技巧还是比较实用的，利用的是补码编码的符号位。整数编码最高位是符号位，负数的符号位是 1，非负数的符号位是 0，再借助异或的特性，可以判断出两个数字是否异号。

当然，如果不用位运算来判断是否异号，需要使用 if else 分支，还挺麻烦的。你可能想利用乘积来判断两个数是否异号，但是这种处理方式容易造成整型溢出，从而出现错误。

index & (arr.length - 1) 的运用

我在 单调栈解题套路 中介绍过环形数组，其实就是利用求模（余数）的方式让数组看起来头尾相接形成一个环形，永远都走不完：

int[] arr = {1,2,3,4};
int index = 0;
while (true) {
    // 在环形数组中转圈
    print(arr[index % arr.length]);
    index++;
}
// 输出：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4...

但模运算 % 对计算机来说其实是一个比较昂贵的操作，所以我们可以用 & 运算来求余数：

int[] arr = {1,2,3,4};
int index = 0;
while (true) {
    // 在环形数组中转圈
    print(arr[index & (arr.length - 1)]);
    index++;
}
// 输出：1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4...

note：注意这个技巧只适用于数组长度是 2 的幂次方的情况，比如 2、4、8、16、32 以此类推。至于如何将数组长度扩展为 2 的幂次方，这也是有比较巧妙的位运算算法的，可以参考 https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html#RoundUpPowerOf2

简单说，& (arr.length - 1) 这个位运算能够替代 % arr.length 的模运算，性能会更好一些。

那问题来了，现在是不断地 index++，你做到了循环遍历。但如果不断地 index--，还能做到环形数组的效果吗？

答案是，如果你使用 % 求模的方式，那么当 index 小于 0 之后求模的结果也会出现负数，你需要特殊处理。但通过 & 与运算的方式，index 不会出现负数，依然可以正常工作：

int[] arr = {1,2,3,4};
int index = 0;
while (true) {
    // 在环形数组中转圈
    print(arr[index & (arr.length - 1)]);
    index--;
}
// 输出：1,4,3,2,1,4,3,2,1,4,3,2,1...

我们自己写代码一般用不到这个技巧，但在学习一些其他代码库时可能会经常看到，这里留个印象，到时候就不会懵逼了。

二、n & (n-1) 的运用

n & (n-1) 这个操作在算法中比较常见，作用是消除数字 n 的二进制表示中的最后一个 1。

看个图就很容易理解了：

其核心逻辑就是，n - 1 一定可以消除最后一个 1，同时把其后的 0 都变成 1，这样再和 n 做一次 & 运算，就可以仅仅把最后一个 1 变成 0 了。

1、计算汉明权重（Hamming Weight）

这是力扣第 191 题「位 1 的个数」：

就是让你返回 n 的二进制表示中有几个 1。因为 n & (n - 1) 可以消除最后一个 1，所以可以用一个循环不停地消除 1 同时计数，直到 n 变成 0 为止。

int hammingWeight(int n) {
    int res = 0;
    while (n != 0) {
        n = n & (n - 1);
        res++;
    }
    return res;
}

2、判断一个数是不是 2 的指数

力扣第 231 题「2 的幂」就是这个问题。

一个数如果是 2 的指数，那么它的二进制表示一定只含有一个 1：

2^0 = 1 = 0b0001
2^1 = 2 = 0b0010
2^2 = 4 = 0b0100

如果使用 n & (n-1) 的技巧就很简单了（注意运算符优先级，括号不可以省略）：

boolean isPowerOfTwo(int n) {
    if (n <= 0) return false;
    return (n & (n - 1)) == 0;
}

三、a ^ a = 0 的运用

异或运算的性质是需要我们牢记的：

一个数和它本身做异或运算结果为 0，即 a ^ a = 0；一个数和 0 做异或运算的结果为它本身，即 a ^ 0 = a。

1、查找只出现一次的元素

这是力扣第 136 题「只出现一次的数字」：

对于这道题目，我们只要把所有数字进行异或，成对儿的数字就会变成 0，落单的数字和 0 做异或还是它本身，所以最后异或的结果就是只出现一次的元素：

int singleNumber(int[] nums) {
    int res = 0;
    for (int n : nums) {
        res ^= n;
    }
    return res;
}

2、寻找缺失的元素

这是力扣第 268 题「丢失的数字」：

给一个长度为 n 的数组，其索引应该在 [0,n)，但是现在你要装进去 n + 1 个元素 [0,n]，那么肯定有一个元素装不下嘛，请你找出这个缺失的元素。

这道题不难的，我们应该很容易想到，把这个数组排个序，然后遍历一遍，不就很容易找到缺失的那个元素了吗？

或者说，借助数据结构的特性，用一个 HashSet 把数组里出现的数字都储存下来，再遍历 [0,n] 之间的数字，去 HashSet 中查询，也可以很容易查出那个缺失的元素。

排序解法的时间复杂度是 O(NlogN)，HashSet 的解法时间复杂度是 O(N)，但是还需要 O(N) 的空间复杂度存储 HashSet。

这个问题其实还有一个特别简单的解法：等差数列求和公式。

题目的意思可以这样理解：现在有个等差数列 0, 1, 2,..., n，其中少了某一个数字，请你把它找出来。那这个数字不就是 sum(0,1,..n) - sum(nums) 嘛？

int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    // 虽然题目给的数据范围不大，但严谨起见，用 long 类型防止整型溢出
    // 求和公式：(首项 + 末项) * 项数 / 2
    long expect = (0 + n) * (n + 1) / 2;
    long sum = 0;
    for (int x : nums) {
        sum += x;
    }
    return (int)(expect - sum);
}

不过，本文的主题是位运算，我们来讲讲如何利用位运算技巧来解决这道题。

再回顾一下异或运算的性质：一个数和它本身做异或运算结果为 0，一个数和 0 做异或运算还是它本身。

而且异或运算满足交换律和结合律，也就是说：

2 ^ 3 ^ 2 = 3 ^ (2 ^ 2) = 3 ^ 0 = 3

而这道题索就可以通过这些性质巧妙算出缺失的那个元素，比如说 nums = [0,3,1,4]：

为了容易理解，我们假设先把索引补一位，然后让每个元素和自己相等的索引相对应：

这样做了之后，就可以发现除了缺失元素之外，所有的索引和元素都组成一对儿了，现在如果把这个落单的索引 2 找出来，也就找到了缺失的那个元素。

如何找这个落单的数字呢，只要把所有的元素和索引做异或运算，成对儿的数字都会消为 0，只有这个落单的元素会剩下，也就达到了我们的目的：

int missingNumber(int[] nums) {
    int n = nums.length;
    int res = 0;
    // 先和新补的索引异或一下
    res ^= n;
    // 和其他的元素、索引做异或
    for (int i = 0; i < n; i++)
        res ^= i ^ nums[i];
    return res;
}

由于异或运算满足交换律和结合律，所以总是能把成对儿的数字消去，留下缺失的那个元素。

到这里，常见的位运算差不多都讲完了。这些技巧就是会者不难难者不会，也不需要死记硬背，只要有个印象就完全够用了。

引用本文的文章
引用本文的题目

安装 我的 Chrome 刷题插件 点开下列题目可直接查看解题思路：

LeetCode力扣
389. Find the Difference389. 找不同
-剑指 Offer 15. 二进制中1的个数

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====其他语言代码====

191.位1的个数

231.2的幂

python

由JodyZ0203提供 191. 位1的个数 Python3 解法代码:

class Solution:
    def hammingWeight(self, n: int) -> int:
        
        # 先定义一个count，用来存1的出现数量
        count = 0

        # 只要二进制串不等于0之前，我们用一个循环边消除1和计1的出现数量
        while n!=0:
           
            # 用labuladong在文章中所提到的 n&(n-1) 技巧来消除最后一个1
            n = n & (n-1)

            count+=1
        
        # 当二进制串全消除完之后，返回1出现的总数量
        return count

javascript

191.位1的个数

let hammingWeight = function(n) {
    let res = 0;
    while (n !== 0) {
        n = n & (n - 1);
        res++;
    }
    return res;
}

231.2的幂

/**
 * @param {number} n
 * @return {boolean}
 */
let isPowerOfTwo = function(n) {
    if (n <= 0) return false;
    return (n & (n - 1)) === 0;
}

136. 只出现一次的数字

查找只出现一次的元素

/**
 * @param {number[]} nums
 * @return {number}
 */
let singleNumber = function(nums) {
    let res = 0;
    for (let n of nums) {
        res ^= n;
    }
    return res;
}

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