动态规划之正则表达
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读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：
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正则表达式是一个非常强力的工具，本文就来具体看一看正则表达式的底层原理是什么。力扣第 10 题「正则表达式匹配」就要求我们实现一个简单的正则匹配算法，包括「.」通配符和「*」通配符。
这两个通配符是最常用的，其中点号「.」可以匹配任意一个字符，星号「*」可以让之前的那个字符重复任意次数（包括 0 次）。
比如说模式串 ".a*b" 就可以匹配文本 "zaaab"，也可以匹配 "cb"；模式串 "a..b" 可以匹配文本 "amnb"；而模式串 ".*" 就比较牛逼了，它可以匹配任何文本。
题目会给我们输入两个字符串 s 和 p，s 代表文本，p 代表模式串，请你判断模式串 p 是否可以匹配文本 s。我们可以假设模式串只包含小写字母和上述两种通配符且一定合法，不会出现 *a 或者 b** 这种不合法的模式串，
函数签名如下：
bool isMatch(string s, string p);对于我们将要实现的这个正则表达式，难点在那里呢？
点号通配符其实很好实现，s 中的任何字符，只要遇到 . 通配符，无脑匹配就完事了。主要是这个星号通配符不好实现，一旦遇到 * 通配符，前面的那个字符可以选择重复一次，可以重复多次，也可以一次都不出现，这该怎么办？
对于这个问题，答案很简单，对于所有可能出现的情况，全部穷举一遍，只要有一种情况可以完成匹配，就认为 p 可以匹配 s。那么一旦涉及两个字符串的穷举，我们就应该条件反射地想到动态规划的技巧了。
一、思路分析
我们先脑补一下，s 和 p 相互匹配的过程大致是，两个指针 i, j 分别在 s 和 p 上移动，如果最后两个指针都能移动到字符串的末尾，那么久匹配成功，反之则匹配失败。
如果不考虑 * 通配符，面对两个待匹配字符 s[i] 和 p[j]，我们唯一能做的就是看他俩是否匹配：
bool isMatch(string s, string p) {
int i = 0, j = 0;
while (i < s.size() && j < p.size()) {
// 「.」通配符就是万金油
if (s[i] == p[j] || p[j] == '.') {
// 匹配，接着匹配 s[i+1..] 和 p[j+1..]
i++; j++;
} else {
// 不匹配
return false;
}
}
return i == j;
}那么考虑一下，如果加入 * 通配符，局面就会稍微复杂一些，不过只要分情况来分析，也不难理解。
当 p[j + 1] 为 * 通配符时，我们分情况讨论下：
1、如果 s[i] == p[j]，那么有两种情况：
1.1 p[j] 有可能会匹配多个字符，比如 s = "aaa", p = "a*"，那么 p[0] 会通过 * 匹配 3 个字符 "a"。
1.2 p[i] 也有可能匹配 0 个字符，比如 s = "aa", p = "a*aa"，由于后面的字符可以匹配 s，所以 p[0] 只能匹配 0 次。
2、如果 s[i] != p[j]，只有一种情况：
p[j] 只能匹配 0 次，然后看下一个字符是否能和 s[i] 匹配。比如说 s = "aa", p = "b*aa"，此时 p[0] 只能匹配 0 次。
综上，可以把之前的代码针对 * 通配符进行一下改造：
if (s[i] == p[j] || p[j] == '.') {
// 匹配
if (j < p.size() - 1 && p[j + 1] == '*') {
// 有 * 通配符，可以匹配 0 次或多次
} else {
// 无 * 通配符，老老实实匹配 1 次
i++; j++;
}
} else {
// 不匹配
if (j < p.size() - 1 && p[j + 1] == '*') {
// 有 * 通配符，只能匹配 0 次
} else {
// 无 * 通配符，匹配无法进行下去了
return false;
}
}整体的思路已经很清晰了，但现在的问题是，遇到 * 通配符时，到底应该匹配 0 次还是匹配多次？多次是几次？
你看，这就是一个做「选择」的问题，要把所有可能的选择都穷举一遍才能得出结果。动态规划算法的核心就是「状态」和「选择」，「状态」无非就是 i 和 j 两个指针的位置，「选择」就是 p[j] 选择匹配几个字符。
二、动态规划解法
根据「状态」，我们可以定义一个 dp 函数：
bool dp(string& s, int i, string& p, int j);引用本文的文章
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====其他语言代码====
javascript
var isMatch = function (s, p) {
// 备忘录
let memo = {}
let dp = function (s, i, p, j) {
let m = s.length, n = p.length;
// base case
if (j === n) {
return i === m;
}
if (i === m) {
if ((n - j) % 2 === 1) {
return false;
}
for (; j + 1 < n; j += 2) {
if (p[j + 1] !== '*') {
return false;
}
}
return true;
}
// 记录状态（i，j），消除重叠子问题
let key = i + ',' + j
if (memo[key] !== undefined) {
return memo[key];
}
let res = false;
if (s[i] === p[j] || p[j] === '.') {
// 匹配
if (j < n - 1 && p[j + 1] === '*') {
// 1.1 通配符匹配 0 次或多次
res = dp(s, i, p, j + 2) || dp(s, i + 1, p, j);
} else {
// 1.2 常规匹配1次
res = dp(s, i + 1, p, j + 1);
}
} else {
// 不匹配
if (j < n - 1 && p[j + 1] === '*') {
// 2.1 通配符匹配0次
res = dp(s, i, p, j + 2)
} else {
// 2.2 无法继续匹配
res = false
}
}
// 将当前结果记入备忘录
memo[key] = res;
return res;
}
// 指针 i，j 从索引 0 开始移动
return dp(s, 0, p, 0);
};C++
class Solution {
public:
map<string, bool> memo;
bool isMatch(string s, string p) {
// 指针 i，j 从索引 0 开始移动
return dp(s, 0, p, 0);
}
/* 计算 p[j..] 是否匹配 s[i..] */
bool dp(string& s, int i, string& p, int j) {
int m = s.size(), n = p.size();
// base case
if (j == n) {
return i == m;
}
if (i == m) {
if ((n - j) % 2 == 1) {
return false;
}
for (; j + 1 < n; j += 2) {
if (p[j + 1] != '*') {
return false;
}
}
return true;
}
// 记录状态 (i, j)，消除重叠子问题
string key = to_string(i) + "," + to_string(j);
if (memo.count(key)) return memo[key];
bool res = false;
if (s[i] == p[j] || p[j] == '.') {
if (j < n - 1 && p[j + 1] == '*') {
res = dp(s, i, p, j + 2)
|| dp(s, i + 1, p, j);
} else {
res = dp(s, i + 1, p, j + 1);
}
} else {
if (j < n - 1 && p[j + 1] == '*') {
res = dp(s, i, p, j + 2);
} else {
res = false;
}
}
// 将当前结果记入备忘录
memo[key] = res;
return res;
}
};